Точные решения для нестационарных изобарических течений вязкой несжимаемой жидкости в слое с проницаемыми границами и постоянной поперечной скоростью

К. В. Губарева, Е. Ю. Просвиряков, А. В. Еремин

---

Аннотация. Исследование точных решений уравнений Навье–Стокса остается важной задачей механики жидкости, поскольку такие решения служат эталоном для верификации численных методов и позволяют выявить фундаментальные закономерности течений. Особый интерес представляют трехмерные нестационарные изобарические течения с постоянной поперечной скоростью, моделирующие процессы фильтрации и движения жидкости в слоях с проницаемыми границами.
Цель исследования. Провести полный анализ совместности переопределенной системы уравнений Навье–Стокса для трехмерных нестационарных изобарических течений с постоянной поперечной скоростью в слое с проницаемыми границами, осуществить ее редукцию к разрешимой системе и построить новые семейства точных решений.
Методы. Анализ условий совместности переопределенных систем дифференциальных уравнений, метод характеристик для линейных уравнений в частных производных, редукция к связанным параболическим уравнениям, построение полиномиальных и автомодельных решений, преобразование Галилея для сведения к уравнению теплопроводности, численная визуализация в среде MATLAB с параметрами воды при 20 °C.
Результаты. Выведены условия совместности, приводящие к линейной функциональной зависимости между горизонтальными компонентами скорости. Исходная переопределенная система сведена к паре квазилинейных параболических уравнений. Построены новые классы точных решений: полиномиальные по характеристической переменной, обобщающие сдвиговые течения, а также автомодельные решения типа движущегося и диффундирующего гауссова импульса, описывающие эволюцию локализованных возмущений. Проведен анализ предельного перехода к идеальной жидкости.
Выводы. Впервые получены точные решения, описывающие трехмерные нестационарные течения вязкой жидкости с постоянной поперечной скоростью. Результаты вносят вклад в теорию слоистых течений и могут быть использованы для верификации численных методов вычислительной гидродинамики.

Ключевые слова: изобарическое течение, постоянная поперечная скорость, условия совместности, точные решения, редукция уравнений Навье–Стокса, слоистые течения, автомодельные решения

Для цитирования. Губарева К. В., Просвиряков Е. Ю., Еремин А. В. Точные решения для нестационарных изобарических течений вязкой несжимаемой жидкости в слое с проницаемыми границами и постоянной поперечной скоростью // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2026. Т. 28. № 4. С. 33–45. DOI: 10.35330/1991-6639-2026-28-4-33-45

©  Губарева К. В., Просвиряков Е. Ю., Еремин А. В., 2026

Список литературы

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
2. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 760 с.
3. Temam R. Navier–Stokes equations: theory and numerical analysis. Amsterdam: NorthHolland, 2001. 500 p.
4. Drazin P. G., Riley N. The Navier–Stokes equations: a classification of flows and exact
   solutions. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2006. 196 p.
5. Пухначев В. В. Симметрии в уравнениях Навье–Стокса // Успехи механики. 2006. № 1. С. 6–76.
6. Аристов С. Н., Шварц К. Г. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся
   слое жидкости. Пермь: Изд-во Пермск. гос. ун-та, 2006. 155 с.
7. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Неоднородные течения Куэтта // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10. Вып. 2. С. 177–182. DOI: 10.20537/nd1402004
8. Turkyilmazoglu M. Exact solutions for the incompressible viscous fluid of a porous rotating disk flow // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2009. Vol. 44. Pp. 352–357. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2008.12.007
9. Полянин А. Д., Журов А. И. Методы разделения переменных и точные решения нелинейных уравнений математической физики. М.: Изд-во «ИПМех РАН», 2020. 384 с.
10. Полянин А. Д., Аристов С. Н. Новый метод построения точных решений трехмерных уравнений Навье–Стокса и Эйлера // Теоретические основы химической технологии. 2011. Т. 45. № 6. С. 696–701.
11. Wang C. Y. Exact solutions of the unsteady Navier–Stokes equations // Appl. Mech. Rev. Vol. 42 (11S). Pp. 269–282. DOI: 10.1115/1.3152400
12. Wang C.Y. Exact solutions of the steady-state Navier–Stokes equations // Annu. Rev. Fluid Mech. 1991. Vol. 23. P. 159–177. DOI: 10.1146/annurev.fl.23.010191.001111
13. Bogoyavlenskij O. The new effect of oscillations of the total angular momentum vector of viscous fluid // Physics Fluids. 2022. Vol. 34. 083108. DOI: 10.1063/5.0101870
14. Zaturska M.B., Banks W.H.H. New solutions for flow in a channel with porous walls and/or non-rigid walls // Fluid Dynamics Research. 2003. Vol. 33. No. 1–2. P. 57–71. DOI: 10.1016/S0169-5983(03)00044-3
15. Baron A. Exact solutions to the three-dimensional Navier–Stokes equations based on the stream function approach // Physics of Fluids. 2025. Vol. 37. No. 1. 013607. DOI: 10.1063/5.0245978
16. Goruleva L.S., Prosviryakov E.Yu. Exact Solutions to the Navier–Stokes equations for describing inhomogeneous isobaric vertical vortex fluid flows in regions with permeable boundaries // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. 2023. Iss. 1. Pp. 41–53. DOI: 10.17804/2410-9908.2023.1.041-053
17. Prosviryakov E.Y. New class of exact solutions of Navier–Stokes equations with exponential dependence of velocity on two spatial coordinates // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2019. Vol. 53. No. 1. Pp. 107–114. DOI: 10.1134/S0040579518060088.
18. Berman A.S. Laminar flow in channels with porous walls // J. Appl.Phys. 1953. Vol. 24. No. 9. Pp. 1232–1235. DOI: 10.1063/1.1721476
19. Yuan S.W. Further investigation of laminar flow in channels with porous walls // J. Appl. Phys. 1956. Vol. 27. Issue 3. P. 267. DOI: 10.1063/1.1722355
20. Регирер С. А. О приближенной теории течения вязкой несжимаемой жидкости в трубах с пористыми стенками // Известия высших учебных заведений. Математика. 1962. № 5. C. 65–74. https://www.mathnet.ru/rus/ivm2101
21. Zubarev N.M., Prosviryakov E.Y. Exact solutions for layered three-dimensional nonstationary isobaric flows of a viscous incompressible fluid // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2019. Vol. 60. No. 6. Pp. 1031–1037. DOI: 10.1134/S0021894419060075
22. Watson E.B.B., Banks W.H.H., Zaturska M.B., Drazin P.G. On transition to chaos in twodimensional channel flow symmetrically driven by accelerating walls // Journal of Fluid Mechanics. 1990. Vol. 212. Pp. 451–485. DOI: 10.1017/S0022112090002051
23. Watson E.B.B., Banks W.H.H., Zaturska M.B., Drazin P.G. Laminar channel flow driven by accelerating walls // European Journal of Applied Mathematics. 1991. Vol. 2. No. 4. Pp. 359–385. DOI: 10.1017/S0956792500000607
24. Губарева К. В., Еремин А. В. Численное решение задачи теплопроводности в пористой пластине с топологией трижды периодических минимальных поверхностей // Advanced Engineering Research (Rostov-on-Don). 2025. Т. 25. № 1. С. 23–31. DOI: 10.23947/2687-1653-2025-25-1-23-31
25. Сизых Г. Б. Течение пуазейлевского типа в канале с проницаемыми стенками // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2022. Т. 26. № 1. С. 190–201. DOI: 10.14498/vsgtu1900

Информация об авторах

Губарева Кристина Владимировна, канд. техн. наук, доцент кафедры «Промышленная теплоэнергетика», Самарский государственный технический университет;
443100, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244;
r.kristina2017@mail.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-9845-8372, SPIN-код: 4171-9816
Просвиряков Евгений Юрьевич, д-р физ.-мат. наук, доцент, профессор кафедры «Информационные технологии и системы управления» Института радиоэлектроники и информационных технологий – РТФ, Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина;
620062, Россия, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19;
заведующий сектором нелинейной вихревой гидродинамики Института машиноведения имени Э. С. Горкунова, Уральское отделение Российской академии наук;
620049, Россия, г. Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34;
evgen_pros@mail.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2349-7801, SPIN-код: 3880-5690
Еремин Антон Владимирович, д-р техн. наук, доцент, проректор по научной работе, заведующий кафедрой «Промышленная теплоэнергетика», Самарский государственный технический университет;
443100, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244;
a.v.eremin@list.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2614-6329, SPIN-код: 3892-0775

Финансирование

Исследование проведено без спонсорской поддержки.