Исследование точных решений уравнений Навье–Стокса остается важной задачей механики жидкости, поскольку такие решения служат эталоном для верификации численных методов и позволяют выявить фундаментальные закономерности течений. Особый интерес представляют трехмерные нестационарные изобарические течения с постоянной поперечной скоростью, моделирующие процессы фильтрации и движения жидкости в слоях с проницаемыми границами. Цель исследования. Провести полный анализ совместности переопределенной системы уравнений Навье–Стокса для трехмерных нестационарных изобарических течений с постоянной поперечной скоростью в слое с проницаемыми границами, осуществить ее редукцию к разрешимой системе и построить новые семейства точных решений. Методы. Анализ условий совместности переопределенных систем дифференциальных уравнений, метод характеристик для линейных уравнений в частных производных, редукция к связанным параболическим уравнениям, построение полиномиальных и автомодельных решений, преобразование Галилея для сведения к уравнению теплопроводности, численная визуализация в среде MATLAB с параметрами воды при 20 °C. Результаты. Выведены условия совместности, приводящие к линейной функциональной зависимости между горизонтальными компонентами скорости. Исходная переопределенная система сведена к паре квазилинейных параболических уравнений. Построены новые классы точных решений: полиномиальные по характеристической переменной, обобщающие сдвиговые течения, а также автомодельные решения типа движущегося и диффундирующего гауссова импульса, описывающие эволюцию локализованных возмущений. Проведен анализ предельного перехода к идеальной жидкости. Выводы. Впервые получены точные решения, описывающие трехмерные нестационарные течения вязкой жидкости с постоянной поперечной скоростью. Результаты вносят вклад в теорию слоистых течений и могут быть использованы для верификации численных методов вычислительной гидродинамики.
The study of exact solutions to the Navier–Stokes equations remains an important task in fluid mechanics, as such solutions serve as a benchmark for verifying numerical methods and reveal fundamental flow patterns. Of particular interest are three-dimensional unsteady isobaric flows with constant transverse velocity, which model filtration processes and fluid motion in layers with permeable boundaries. Aim. To perform a complete compatibility analysis of the overdetermined system of Navier–Stokes equations for three-dimensional unsteady isobaric flows with a constant transverse velocity in a layer with permeable boundaries, reduce it to a solvable system, and construct new families of exact solutions. Methods. Compatibility analysis of overdetermined systems of partial differential equations, the method of characteristics for linear partial differential equations, reduction to coupled parabolic equations, construction of polynomial and self-similar solutions, the Galilean transformation for reduction to the heat equation, and numerical visualization in MATLAB using the parameters of water at 20°C. Results. Compatibility conditions are derived, leading to a linear functional relationship between the horizontal velocity components. The original overdetermined system is reduced to a pair of quasilinear parabolic equations. New classes of exact solutions have been constructed: polynomial solutions in the characteristic variable, which generalize shear flows, as well as self-similar solutions of the moving and diffusing Gaussian pulse type that describe the evolution of localized perturbations. An analysis of the limit transition to an ideal fluid is performed. Conclusions. For the first time, exact solutions describing three-dimensional unsteady viscous fluid flows with a constant transverse velocity have been obtained. The results contribute to the theory of layered flows and can be used to verify numerical methods in computational fluid dynamics (CFD).