Обратная задача по идентификации значений функции переменного порядка дробной производной в математической модели аномальных вариаций объемной активности радона

Д. А. Твёрдый, Р. И. Паровик

---

Аннотация. Проблема сейсмичности в Камчатском крае обусловливает важность фундаментальных исследований, способствующих пониманию процессов, происходящих в земной коре. Аномальные изменения концентрации радиоактивного газа радона (222Rn) считаются одним из краткосрочных предвестников землетрясений. Мониторинг представляет собой сбор информации по объемной активности 222Rn (ОАР) в накопительной камере регистратора со временем и выявление аномалий. Однако механизмы возникновения таких аномалий малоизучены. Поэтому авторами ранее были предложены новые математические эредитарные модели ОАР, с учетом нелокальности по времени процесса переноса в неоднородной фрактальной геосреде, для описания необычной миграционной способности 222Rn. Основной параметр моделей – переменный порядок дробной производной типа Герасимова–Капуто, связанный с интенсивностью процесса переноса 222Rn при изменении проницаемости геосреды.

Цель исследования – решение коэффициентной обратной задачи идентификации значений в математической эредитарной модели аномальных вариаций ОАР.

Методы исследования. решение коэффициентной обратной задачи идентификации значений в математической эредитарной модели аномальных вариаций ОАР.

Результаты. Получен ряд результатов решения обратной задачи при различных параметрах, управляющих ходом IP-LM. Результаты разделяются на 2 типа: неправдоподобные – из-за выхода из области допустимых значений и начального приближения идентифицируемых значений, близких к ориентиру, вручную подобранным значениям; правдоподобные – из-за начального приближения, близкого к 0, хорошего согласия результатов с данными ОАР, где сохраняет рост значений от 0 к 1 при потере явной периодичности ориентира.

Выводы. Из результатов можно сделать вывод о возможности решения сформулированной двухпараметрической обратной задачи на основе экспериментальных данных ОАР. Получаемые результаты правдоподобны, однако результат решения обратной задачи зависит от начального приближения идентифицируемых значений.

Ключевые слова: математическое моделирование, объемная активность радона, дробная производная переменного порядка, обратные задачи

Для цитирования. Твёрдый Д. А., Паровик Р. И. Обратная задача по идентификации значений функциипеременного порядка дробной производной в математической модели аномальных вариаций объемной активности радона // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2025. Т. 27. № 6. С. 77–88. DOI: 10.35330/1991-6639-2025-27-6-77-88

Список литературы

1. Фирстов П. П., Макаров Е. О. Динамика подпочвенного радона на Камчатке и сильные землетрясения. Петропавловск-Камчатский: КамГУ им. Витуса Беринга, 2018. 148 с. EDN: VXTMDH
2. Nikolopoulos D., Cantzos D., Alam A. et al. Electromagnetic and radon earthquake precursors. Geosciences. 2024. Vol. 14. No. 10. P. 271. EDN: YDMFHA
3. Бирюлин С. В., Козлова И. А., Юрков А. К. Исследование информативности объемной активности почвенного радона при подготовке и реализации тектонических землетрясений на примере Южно-Курильского региона // Вестник КРАУНЦ. Науки о Земле. 2019. Т. 44. № 4. С. 73–83. EDN: IMOXJB
4. Зубков С. И. Радоновые предвестники землетрясений // Вулканология и сейсмология. № 6. С. 74–105.
5. Dubinchuk V.T. Radon as a precursor of earthquakes. In Proceedings of the Isotopic geochemical precursors of earthquakes and volcanic eruption, Vienna, Austria, 9–12 September Vienna: IAEA, 1993. Pp. 9–22.
6. Kristiansson K., Malmqvist L. Evidence for nondiffusive transport of 86Rn in the ground and a new physical model for the transport. Geophysics. 1982. Vol. 47. No. 10. DOI: 10.1190/1.1441293
7. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of nature. New York: Times Books. 1982. 468 p.
8. Evangelista L.R., Lenzi E.K. Fractional anomalous diffusion, an introduction to anomalous diffusion and relaxation. Cham: Springer. 2023. Pp. 189–236. DOI: 10.1007/978-3-031-18150-4_5
9. Tverdyi D.A., Makarov E.O., Parovik R.I. Hereditary mathematical model of the dynamics of radon accumulation in the accumulation chamber. Mathematics. 2023. Vol. 11. No. 4:850. DOI: 10.3390/math11040850
10. Твёрдый Д. А., Макаров Е. О., Паровик Р. И. Исследования напряженно-деформированного состояния геосреды эманационными методами на примере alpha(t)-модели переноса радона // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2023. Т. 44. № 3. С. 86–104. EDN: AOBZGA
11. Uchaikin V.V. Fractional derivatives for physicists and engineers. Vol. I. Background and Theory. Berlin/Heidelberg: Springer. 2013. 373 p. DOI: 10.1007/978-3-642-33911-0
12. Parovik R.I., Shevtsov B.M. Radon transfer processes in fractional structure medium. Mathematical Models and Computer Simulations. 2010. Vol. 2. Pp. 180–185. DOI: 10.1134/S2070048210020055
13. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam: Elsevier. 2006. 523 p. EDN: YZECAT
14. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с. EDN: UGLEPD
15. Caputo M. Linear models of dissipation whose Qis almost frequency independent – II. Geophysical Journal International. 1967. Vol. 13. No. 5. Pp. 529–539. DOI: 10.1111/j.1365-246X.1967.tb02303.x
16. Novozhenova O.G. Life and science of Alexey Gerasimov, one of the pioneers of fractional calculus in Soviet Union. Fractional Calculus and Applied Analysis. 2017. Vol. 20. Pp. 790–809. DOI: 10.1515/fca-2017-0040
17. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. 4-е изд. Новосибирск: Издательство Сибирского отделения РАН, 2018. 508 с. EDN: UQAVAO
18. Mueller J.L., Siltanen S. Linear and nonlinear inverse problems with practical applications. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2012. 351 p. DOI: 10.1137/1.9781611972344
19. Tverdyi D.A., Parovik R.I., Makarov E.O. Estimation of radon flux density changes in temporal vicinity of the Shipunskoe earthquake with MW = 7.0, 17 August 2024 with the use of the hereditary mathematical model. Geosciences. 2025. Vol. 15. No. 1:30. EDN: WJIKNS
20. Tverdyi D.A. Refinement of variable order fractional derivative of Gerasimov-Caputo type by multidimensional Levenberg-Marquardt optimization method. In: Computing Technologies and Applied Mathematics. CTAM 2024. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. 2025. Vol. 500. Pp. 159–173. EDN: IRBPFF
21. More J.J. The Levenberg-Marquardt algorithm: implementation and theory. In: Numerical Analysis. Lecture Notes in Mathematics. 1978. Vol. 630. Pp. 105–116. DOI: 10.1007/BFb0067700
22. Vasilyev A.V., Zhukovsky M.V. Determination of mechanisms and parameters which affect radon entry into a room. Journal of Environmental Radioactivity. 2013. Vol. 124. Pp. 185–190. EDN: RFGXPN
23. Tverdyi D.A., Parovik R.I. Investigation of finite-difference schemes for the numerical solution of a fractional nonlinear equation. Fractal and Fractional. 2022. Vol. 6. No. 1:23. EDN: XPPXOV
24. Твёрдый Д. А. Математическое моделирование вариаций объемной активности радона с учетом наследственности: модель, методы решения, программа. М.: Академия Естествознания, 2025. 186 с. EDN: QUCYFP
25. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.
26. Dennis J.E., Robert Jr., Schnabel B. Numerical methods for unconstrained optimization and nonlinear equations. Philadelphia: SIAM, 394 p.

Информация об авторах

Твёрдый Дмитрий Александрович, канд. физ.-мат. наук, науч. сотр., Институт космофизических исследований и распространения радиоволн Дальневосточного отделения Российской академии наук;
684034, Россия, с. Паратунка, ул. Мирная, 7;
dimsolid95@gmail.com, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-6983-5258, SPIN-код: 2849-4814
Паровик Роман Иванович, д-р физ.-мат. наук, профессор ДВО РАН, вед. науч. сотр., Институт космофизических исследований и распространения радиоволн Дальневосточного отделения Российской академии наук;
684034, Россия, с. Паратунка, ул. Мирная, 7;
parovik@ikir.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1576-1860, SPIN-код: 4295-6894