Об обращении преобразования Лапласа одной функции, содержащей гиперболический тангенс

Ф. Г. Хуштова

---

Аннотация. В работе рассматривается обращение преобразования Лапласа одной функции, содержащей гиперболический тангенс. Указанная функция возникает при решении краевой задачи в ограниченной области с условиями второго и третьего рода для уравнения теплопроводности.

Цель исследования – обращение преобразования Лапласа функции, возникающей при решении краевой задачи с условиями второго и третьего рода для уравнения теплопроводности.

Результаты. Используя теорему о вычетах и методы теории функций комплексного переменного, получили обращение рассматриваемой функции в двух формах, пригодных для больших и малых значений времени. В первом случае обратное преобразование записывается в виде ряда из экспоненциальных функций с постоянными коэффициентами, во втором случае – в виде ряда из сверток Лапласа специальных функций.

Выводы и заключение. Полученные результаты могут быть использованы при построении решения краевой задачи для уравнения теплопроводности в ограниченной области с условием второго рода на одной из границ и условием третьего рода – на другой в форме, пригодной для малых значений времени. В теории уравнений математической физики решение аналогичной задачи построено методом разделения переменных в форме, хорошо описывающей процессы теплопередачи для больших значений времени. Но такая форма оказывается неудобной в случае малых значений времени по причине плохой сходимости ряда Фурье по собственным функциям задачи.

Ключевые слова: преобразование Лапласа, теорема о вычетах, лемма Жордана, гиперболический тангенс, интеграл вероятности, полиномы Лагерра

Для цитирования. Хуштова Ф. Г. Об обращении преобразования Лапласа одной функции, содержащей гиперболический тангенс // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2025. Т. 27. № 6. С. 30–38. DOI: 10.35330/1991-6639-2025-27-6-30-38

Список литературы

1. Ремизова О. И., Соснин М. Л. Операционный метод построения функций Грина для малых времен, соответствующих решению краевых задач для уравнений переноса параболического типа // Вестник МИХТ им. М. В. Ломоносова. 2011. Т. 6. № 3. С. 116–119. EDN: OHJVKN
2. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматлит, 1961.
3. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967.
4. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М.: Наука, 1971.
5. Галицын А. С., Жуковский А. Н. Интегральные преобразования и специальные функции в задачах теплопроводности. Киев: Наукова думка, 1976.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. М.: Наука, 1969. Т. 1. 344 с.
7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966.
8. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физматлит, 1963. 358 с.
9. Карлоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964.
10. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.

Информация об авторе

Хуштова Фатима Гидовна, канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. отдела дробного исчисления, Институт прикладной математики и автоматизации – филиал Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук;
360000, Россия, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А;
khushtova@yandex.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0003-4088-3621, SPIN-код: 6803-4959