News of the Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of SciencesNews of the Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of SciencesИзвестия Кабардино-Балкарского научного центра РАН1991-66392949-194026557410.35330/1991-6639-2024-26-4-130-144XBPQQSМатематика и механикаResearch ArticleBoundary value problem for a differential-difference equation with a fractional derivativeКраевая задача для дифференциально-разностного уравнения с дробной производнойhttps://orcid.org/0009-0007-9406-8119ВидзижеваЛейла МагомедовнаVidzizhevaLeila M.
Russian Federation

аспирант

Postgraduate Student

danocha_999@mail.ru6070-1196KanametovaDana A.КанаметоваДана Асланбиевна
Russian Federation

Candidate of Economic Sciences, Researcher

к.э.н., науч. сотр.

danocha_999@mail.ruНаучно-образовательный центр Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наукScientific and Educational Center, Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of SciencesInstitute of Applied Mathematics and Automation – a branch of Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of SciencesИнститут прикладной математики и автоматизации – филиал Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наукru0710202420242641301440610202406102024Copyright ©; 2024, Видзижева Л.М., Канаметова Д.А.Copyright ©; 2024, Видзижева Л.M., Канаметова Д.A.2024Видзижева Л.М., Канаметова Д.А.Видзижева Л.M., Канаметова Д.A.https://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rcsi.science/1991-6639/article/view/265574

The work is devoted to the study of a differential-difference equation with a fractional derivative of order not exceeding one. For the equation under consideration, a boundary value problem is posed and solved on a manifold that is a countable union of intervals. To solve the problem, we used an analogue of the Green function method, adapted for differential-difference equations. A general representation of the solution to the equation under study has been found, a fundamental solution has been constructed in terms of the Prabhakar function, its properties have been studied, and a theorem on the existence and uniqueness of a solution to the problem under study has been proven.

Работа посвящена исследованию дифференциально-разностного уравнения с дробной производной порядка, не превосходящего единицу. Для рассматриваемого уравнения ставится и решается краевая задача на многообразии, представляющем собой счетное объединение интервалов. Для решения задачи использован аналог метода функции Грина, адаптированный для дифференциально-разностных уравнений. Найдено общее представление решения исследуемого уравнения, в терминах функции Прабхакара построено фундаментальное решение, изучены его свойства, доказана теорема о существовании и единственности решения исследуемой задачи.

fractional derivativeMcKendrick – Von Foerster equationfractional integration operatorfractional differentiation operatordifferential-difference equationRiemann – Liouville integraldifference operatorsPrabhakar functionMittag-Leffler functionдробная производнаяуравнение Мак-Кендрика – Фон Ферстераоператор дробного интегрированияоператор дробного дифференцированиядифференциально-разностное уравнениеинтеграл Римана – Лиувилляразностные операторыфункция Прабхакарафункция Миттаг-ЛеффлераNakhushev A.M. Drobnoye ischisleniye i yego primeneniye [Fractional calculus and its application]. Moscow: FIZMATLIT, 2003. 272 p. ISBN: 5-9221-0440-3. EDN: UGLEPD. (In Russian)Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 272 с. ISBN: 5-9221-0440-3. EDN: UGLEPDBakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Chislennyye metody [Numerical methods]. Moscow: BINOM. Knowledge Laboratory, 2011. 636 p. ISBN: 978-5-9963-0449-3. EDN: QJXMXL. (In Russian)Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. 636 с. ISBN: 978-5-9963-0449-3. EDN: QJXMXLKenetova R. O., Losanova F. M. On a nonlocal boundary value problem for the generalized McKendrick – von Förster equation. News of the Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of Sciences. 2017. No. 2(76). Pp. 49–53. EDN: ORSLWH. (In Russian)Кенетова Р. О., Лосанова Ф. М. О нелокальной краевой задаче для обобщенного уравнения Мак-Кендрика – фон Ферстера // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2017. № 2(76). С. 49–53. EDN: ORSLWHLosanova F.M. About one mathematical model with the generalized McKendrick – von Förster equation. Vestnik KRAUNC. Phys.-math. Sciences. 2020. Vol. 33. No. 4. Pp. 71–77. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-33-4-71-77. (In Russian)Лосанова Ф. М. Об одной математической модели с обобщенным уравнением Мак-Кендрика – фон Ферстера // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2020. Т. 33. № 4. С. 71–77. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-33-4-71-77Bogatyreva F.T. Boundary value problems for first order partial differential equations with Dzhrbashyan – Nersesyan operators. Chelyab. Phys.-Math. zhur. 2021. Vol. 6. No. 4. Pp. 403–416. DOI: 10.47475/2500-0101-2021-16401. (In Russian)Богатырева Ф. Т. Краевые задачи для уравнения в частных производных первого порядка с операторами Джрбашяна – Нерсесяна // Челябинский физико-математический журнал. 2021. Т. 6. № 4. С. 403–416. DOI: 10.47475/2500-0101-2021-16401Lavrentyev M.A., Shabat B.V. Metody teorii funktsiy kompleksnoy peremennoy [Methods of the theory of functions of a complex variable]. Moscow: FIZMATGIZ, 1958. 749 p. (In Russian)Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1958. 749 с.Prabhakar T.R., A singular integral equation with a generalized Mittag-Leffler function in the kernel. Yokohama Math. J. 1971. No. 19. Pp. 7–15.Prabhakar T. R. A singular integral equation with a generalized Mittag-Leffler function in the kernel // Yokohama Math. J., 1971. Vol. 19. Рp. 7–15.Garra R., Garrappa R. The Prabhakar or three parameter Mittag-Leffler function: Theory and application. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat. 2018. No. 56. Pp. 314–329.Garra R., Garrappa R. The Prabhakar or three-parameter Mittag-Leffler function: theory and application // Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 2018. Vol. 56. Рp. 314–329.Shukla A.K., Prajapati J.C. On a generalization of Mittag-Leffler function and its properties. J. Math. Anal. Appl. 2007. No. 336. Pp. 797–811.Shukla A. K., Prajapati J. C. On a generalization of Mittag-Leffler function and its properties // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 336. Рp. 797–811.Bogatyreva F.T., Gadzova L.Kh., Efendiev B.I. Osnovy drobnogo integrirovaniya i differentsirovaniya: metodicheskoye posobiye [Fundamentals of fractional integration and differentiation: Methodical manual]. Nalchik: Izdatel'stvo KBNTS RAN, 2020. 46 p. ISBN 978-5-6045584-2-3. EDN: UJQESX. (In Russian)Богатырева Ф. Т., Гадзова Л. Х., Эфендиев Б. И. Основы дробного интегрирования и дифференцирования: методическое пособие. Нальчик: Издательство КБНЦ РАН, 2020. 46 c. ISBN 978-5-6045584-2-3. EDN: UJQESX