News of the Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of SciencesNews of the Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of SciencesИзвестия Кабардино-Балкарского научного центра РАН1991-66392949-194030615110.35330/1991-6639-2025-27-3-11-28BHZCDKМатематика и механикаResearch ArticleFirst and second order necessary optimality conditions for a continuous stochastic control problem of Rosser typeНеобходимые условия оптимальности первого и второго порядков для непрерывной стохастической задачи управления типа Россераhttps://orcid.org/0000-0001-6387-21464056-5919МасталиевР. О.MastaliyevR. O.
Azerbaijan

д-р философии по математике, доцент, зав. кафедрой математики и информатики

PhD in Mathematics, Associate Professor, Head of the Department of Mathematics and Informatics

mastaliyevrashad@gmail.comAzerbaijan UniversityУниверситет «Азербайджан»Institute of Control Systems of the Ministry of Science and Education of the Republic of AzerbaijanИнститут систем управления Министерства науки и образования Азербайджанской Республикиru211020252025273VOL 27, NO3 (2025)ТОМ 27, №3 (2025)112825082025Copyright ©; 2025, Масталиев Р.О.Copyright ©; 2025, Mastaliyev R.O.2025Масталиев Р.О.Mastaliyev R.O.https://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rcsi.science/1991-6639/article/view/306151

This paper is devoted to the study of a singular, in the classical sense, case and the derivation second order necessary optimality conditions in terms of the second variation of the minimizable functional in the stochastic control problem described by first order stochastic nonlinear hyperbolic equations system written in the canonical form.

Results. For one stochastic optimal control problem described by a stochastic system of first-order nonlinear hyperbolic equations, necessary conditions of first- and second-order optimality are obtained, which are, respectively, stochastic analogs of the Euler equation and optimality conditions for the classical extremal.

Methods. In obtaining the results, theories of optimal control and calculus of variations were used, taking into account the stochastic properties of the problem under consideration. Similar control problems arise in the optimization of a number of chemical-technological processes under the influence of random effects.

Данная работа посвящена изучению особого, в классическом смысле, случая и выводу необходимых условий оптимальности второго порядка в терминах второй вариации минимизируемого функционала в стохастической задаче управления, описываемой системой стохастических нелинейных гиперболических уравнений первого порядка, записанной в канонической форме.

Результаты. Для одной стохастической задачи оптимального управления, описываемой стохастической системой нелинейных гиперболических уравнений первого порядка, получены необходимые условия оптимальности первого и второго порядков, которые представляют собой соответственно стохастические аналоги уравнения Эйлера и условия оптимальности классической экстремали.

Методы. При получении результатов использовались теории оптимального управления и вариационного исчисления с учетом стохастических свойств рассматриваемой задачи. Подобные задачи управления возникают при оптимизации ряда химико-технологических процессов под влиянием случайных воздействий.

стохастическая система типа Россеравинеровский случайный процессоптимальностьаналог уравнения Эйлераусловия оптимальности второго порядкаRosser-type stochastic systemWiener random processoptimalityanalogue of Euler equationsecond-order optimality conditionsMansimov K.B. On the theory of necessary optimality conditions in one problem with distributed parameters. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2001. Vol. 41. No. 10. Pp. 1429–1443. (In Russian)Мансимов К. Б. К теории необходимых условий оптимальности в одной задаче с распределенными параметрами // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2001. Т. 41. № 10. С. 1505 –1520.Mansimov K.B. Study of quasi-singular processes in one problem of chemical reactor control. Differential equations. 1997. Vol. 33. No. 4. Pp. 544–551. (In Russian)Мансимов К. Б. Исследование квазиособых процессов в одной задаче управления химическим реактором // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33. № 4. С. 540–546.Vasiliev O.V., Terletsky V.A. On the optimization of one class of controlled systems with distributed parameters. Optimization of dynamic systems. Minsk.1978. Pp. 26-30. (In Russian)Васильев О. В., Терлецкий В. А. К оптимизации одного класса управляемых систем с распределенными параметрами // Оптимизация динамических систем. 1978. С. 26–30.Mansimov K.B., Mastaliev R.O. Necessary conditions for first-order optimality in one stochastic control problem with distributed parameters. VSPU/IPU RAS. 2024. Pp. 547–549. (In Russian)Мансимов К. Б., Масталиев Р. О. Необходимые условия оптимальности первого порядка в одной стохастической задаче управления с распределенными параметрами // ВСПУ/ИПУ РАН. 2024. С. 547–549.Mansimov K.B., Mastaliyev R.O. Analog of Euler equation and second order necessary optimality conditions for Rosser type continuous stochastic control problem. COIA-2024. 27–29 august. Istanbul. Turkiye. Pp. 567–570.Mansimov K. B., Mastaliyev R. O. Analog of Euler equation and second order necessary optimality conditions for Rosser type continuous stochastic control problem // COIA -2024. 27 –29 august. Istanbul. Turkiye. Pp. 567 –570.Gabasov R., Kirillova F.M. Osobyye optimal'nyye upravleniya [Singular optimal controls]. Moscow: URSS, 2018. 256 p. (In Russian)Габасов Р., Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления. М.: URSS, 2018. 256 с.Mansimov K.B., Mardanov M.J. Kachestvennaya teoriya optimal'nogo upravleniya sistemami Gursa–Darbu [Qualitative theory of optimal control of Goursat-Darboux systems]. Baku: Elm, 2010. 360 p. (In Russian)Мансимов К. Б., Марданов М. Дж. Качественная теория оптимального управления системами Гурса–Дарбу. Баку: Элм, 2010. 360 с.Lu Q., Zhang X. Control theory for stochastic distributed parameters systems an engineering perspective. Annual Reviews in Control. 2021.Vol. 51. No. 6. Pp. 268–330. DOI: 10.1016/j.arcontrol.2021.04.002Lu Q., Zhang X. Control theory for stochastic distributed parameters systems an engineering perspective // Annual Reviews in Control. 2021. Vol. 51. No. 6. Pp. 268 –330. DOI: 10.1016/j.arcontrol.2021.04.002Rachinsky V.V. Vvedeniye v obshchuyu teoriyu dinamiki sorbtsii i khromatografii [Introduction to the General Theory of Sorption and Chromatography Dynamics]. Moscow: Nauka, 1964. 136 p. (In Russian)Рачинский В. В. Введение в общую теорию динамики сорбции и хроматографии. М.: Наука, 1964. 136 с.Khrychev D.A. On one stochastic quasilinear hyperbolic equation. Sbornik: Mathematics. 1981. Vol. 116(158). No. 3(11). Pp. 398–426. DOI: 10.1070/SM1983v044n03ABEH000972. (In Russian)Хрычев Д. А. Об одном стохастическом квазилинейном гиперболическом уравнении // Математический сборник. 1981. Т. 116(158). № 3(11). С. 398–426.Vas'kovsky M.M. On solutions of stochastic hyperbolic equations with delay with measurable locally bounded coefficients. Bulletin of BSU. Series 1. Physics, Mathematics, Informatics. 2012. No. 2. Pp. 115–121. EDN: RUPPAR. (In Russian)Васьковский М. М. О решениях стохастических гиперболических уравнений с запаздыванием с измеримыми локально ограниченными коэффициентами // Вестник БГУ. Сер. 1. Физика. Математика. Информатика. 2012. № 2. С. 115–121.Mansimov K.B., Mastaliev R.O. On the representation of the solution of the Goursat boundary value problem for stochastic hyperbolic partial differential equations of the first order. Bulletin of the Irkutsk State University, series. Mathematics. 2023. Vol. 45. Pp. 145–151. DOI: 10.26516/1997-7670.2023.45.145. (In Russian)Мансимов К. Б., Масталиев Р. О. О представлении решения краевой задачи Гурса для стохастических гиперболических уравнений с частными производными первого порядка // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика. 2023. Т. 45. С. 145–151.Mastaliev R.O. Necessary conditions for first-order optimality in stochastic Goursat – Darboux systems. Far Eastern Mathematical Journal. 2021. Vol. 21. No. 1. Pp. 89–104. DOI: 10.47910/FEMJ202108. (In Russian)Масталиев Р. О. Необходимые условия оптимальности первого порядка в стохастических системах Гурса –Дарбу // Дальневосточный математический журнал. 2021. Т. 21. № 1. С. 89 –104.Mansimov K.B., Kerimova A.V. Necessary optimality conditions of the first and second orders in one step control problem described by difference and integro-differential equations of Volterra type. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2024. Vol. 64. No. 10. Pp. 2256–2268. DOI: 10.31857/S0044466924100072. (In Russian)Мансимов К. Б., Керимова А. В. Необходимые условия оптимальности первого и второго порядков в одной ступенчатой задаче управления, описываемой разностным и интегро-дифференциальным уравнениями типа Вольтерра // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2024. Т. 64. № 10. С. 1868 –1880.Rzaeva V.G. Necessary optimality conditions of the first and second orders in one optimal control problem described by a system of hyperbolic integro-differential equations of the Volterra type. Bulletin of Tomsk State University. Management, Computer Science and Information Science. 2023. No. 62. Pp. 4–12. DOI: 10.17223/19988605/62/1. (In Russian)Рзаева В. Г. Необходимые условия оптимальности первого и второго порядков в одной задаче оптимального управления, описываемой системой гиперболических интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 62. С. 4 –12.Butoma A.M., Sotskaya L.I. Variatsionnoye ischisleniye i optimal'noye upravleniye [Variational Calculus and Optimal Control]. Mogilev: Belarusian-Russian University, 2021. 46 p. (In Russian)Бутома А. М., Сотская Л. И. Вариационное исчисление и оптимальное управление. Могилев: Белорусско-Российский университет, 2021. 46 с.